2.5.- Ordenes Parciales


En matemáticas, un orden parcial, conjunto parcialmente ordenado, o poset, en inglés y para abreviar, es una relación binaria especial que formaliza el concepto intuitivo de orden: Definición formal

Considere algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset. Dada una relación binaria R que sea un orden parcial sobre un conjunto P; si se cumple que x, yP y xy o yx se dice que x e y son comparables. Si cada par de elementos en P son comparables se dice que R es un orden total.

El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro en el contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. En particular, los conjuntos totalmente ordenados pueden también ser llamados conjuntos ordenados, especialmente en áreas donde son más comunes estas estructuras que los posets. Sin embargo, la mayoría de los artículos no deben causar confusión mientras todas las definiciones formales empleen terminología exacta.

 

Los órdenes parciales estrictos y los débiles

En algunos contextos, el orden parcial definido arriba se llama orden parcial débil (o reflexivo). En estos contextos un orden parcial estricto (también llamado quasiorden o irreflexivo) es una relación binaria que es irreflexiva y transitiva, y por lo tanto asimétrica. Es decir para todos a, b, y c en P, tenemos que:

Si R es una orden parcial débil, entonces R− {(a, a)|a en P} es el orden parcial estricto correspondiente. Semejantemente, cada orden parcial estricto tiene un orden parcial débil correspondiente, y así que las dos definiciones son esencialmente equivalentes.

 

Orden total

En matemáticas, un orden total u orden lineal en un conjunto X es una relación binaria que es reflexiva, antisimétrica, transitiva, y total. Esto significa que, si denotamos la relación por ≤, vale para todo a, b y c en X

aa (reflexividad)

si ab y ba entonces a = b (antisimetría)

si ab y bc entonces ac (transitividad)

ab o ba (totalidad)

Un conjunto con una orden total en él se llama un conjunto totalmente ordenado, o un conjunto linealmente ordenado.

Porque una relación binaria que es reflexiva, antisimétrica y transitiva se llama un orden parcial, un orden total se puede también definir como orden parcial que sea total. Alternativamente, uno puede definir un conjunto totalmente ordenado como una clase particular de reticulado, a saber uno en el cual tenemos {a 6b, a 6b} = {a, b} para todo a, b. Entonces escribimos ab si y solamente si a 6b = b.

Si a y b son miembros de un conjunto totalmente ordenado, podemos escribir a < b si ab y ab. La relación binaria < es entonces transitiva (a < b y b < c implica a < c) y tricotomía (una y solamente una de a < b, b < a o a = b es verdad). De hecho, podemos definir un orden total como una relación binaria tricotómica, transitiva <, y entonces definimos ab como a < b o a = b, y esta definición se puede demostrar como equivalente a la que se dio al principio de este artículo.

Para cualquier conjunto totalmente ordenado X podemos definir los intervalos abiertos (a, b) = { x : a < x y x < b}, (- ∞, b) = {x: x < b}, (a, ∞) = {x: a < x} y (- ∞, ∞) = X. El conjunto totalmente ordenado X se vuelve un espacio topológico si definimos un subconjunto como abierto si y solamente si es una unión (posiblemente infinitamente muchos) de tales intervalos abiertos. Esto se llama la topología del orden en X; es siempre un T5. A menos que esté establecido de otra manera, se entiende que esta topología se está utilizando en un conjunto totalmente ordenado.

Ejemplos: Lo siguiente es válido salvo un isomorfismo de orden: El conjunto de los números naturales son el conjunto totalmente ordenado más pequeño sin límite superior. Semejantemente, el conjunto totalmente ordenado más pequeño sin ínfimo ni súpremo son los enteros. El conjunto totalmente ordenado y acotado más pequeño que también sucede ser denso en el sentido que (a, b) es no vacío para cada a < b, son los números racionales.

Observe que son posibles subconjuntos, que en un sentido son más pequeños, pero que son orden isomorfos y por lo tanto que no cuentan como más pequeños. Por ejemplo, en vez de números y de números enteros naturales podemos tomar los pares, y en vez de todos los números racionales podemos tomar aquellos con una expansión decimal finita.

 

Conjunto preordenado

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, preórdenes son ciertas clases de relaciones binarias que se relacionan con los conjuntos parcialmente ordenados. El nombre quasiorden es también una expresión común para preórdenes. Muchas definiciones teóricas para los conjuntos parcialmente ordenados se pueden generalizar a preórdenes, pero el esfuerzo adicional de generalización raramente se necesita. Con todo hay campos de uso, tales como la definición de la convergencia vía redes en topología, donde los preórdenes no se pueden substituir por conjuntos parcialmente ordenados sin perder propiedades importantes.

Definición formal Considere algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un preorden, o un quasiorden, si es reflexiva y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

aa (reflexividad)

si ab y bc entonces ac (transitividad)

Un conjunto que se equipa con un preorden se llama un conjunto preordenado. Si un preorden es también antisimétrico, es decir, ab y ba implica a = b, entonces es un orden parcial.

Un orden parcial se puede construir con cualquier preorden identificando puntos "iguales". Formalmente, se define una relación de equivalencia ~ sobre X tal que a ~ b sii ab y ba. Ahora el conjunto cociente X/~, es decir el conjunto de todas las clases de equivalencia de ~, pueden ser fácilmente ordenadas definiendo [x] ≤ [y] sii xy. Por la construcción de ~ esta definición es independiente de los representantes elegidos y la relación correspondiente está de hecho bien definida. Se verifica fácilmente que ésto da un conjunto parcialmente ordenado.